Рефетека.ру / Информатика и програм-ие

Курсовая работа: Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева

Міністерство освіти і науки України

Вінницький державний технічний університет

Інститут ІНАЕКСУ

Факультет АКСУ

Кафедра АІВТ


Курсова робота з дисципліни :

«Обчислювальні методи та застосування ЕОМ»


Керівник професор, д.т.н._______________ Квєтний Р.Н.

Студент гр. 3АВ-0_______________ Кучерявий В.Р.


2003

Зміст


Завдання

1.Загальні відомості

2.Вибір методу інструментальних засобів вирішення задач

3.Функціональне призначення програми

4.Розробка та опис логічної частини програми

5.Керівництво оператору

6.Результати обчислень

Висновки

Література

Додаток А

Блок-схема алгоритму

Додаток Б

Лістинг програми

Анотація


В даній курсовій роботі проведено дослідження різницевого методу для розв’язання крайової задачі. Дослідження проводиться на прикладі заданого диференційного рівняння. Дається опис методу та задачі в цілому.

1. Загальні відомості


Формула Чебишева

Формула обчислення може бути приведена до вигляду


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева (1)


заміною змінних


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


При виведенні формули Чебишева використовуються такі умови:

• коефіцієнти АІ рівні між собою;

• квадратурна формула (1) точна для всіх поліномів до степеня п включно.

При цих умовах формула (1) має вигляд:


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева (2)


Для знаходженняРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишевавикористовуємо другу умову, згідно з якою формула (2) повинна бути точною для функції вигляду


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Після підстановки цих функцій в (2) отримаємо систему рівнянь

Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Система рівнянь має розв'язок при п <8 та п=9. В цій обмеженій точності і полягає недолік формули Чебишева. ЗначенняРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишевадля різних п наведені в довідниках.

Для довільного інтервалу (а, b) формула (2) приймає вигляд


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Де


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Похибка обчислень за методом Чебишева:


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Формула Гаусса

Формула Гаусса називається формулою найвищої алгебраїчної точності. Для формули розрахунку найвища точність може бути досягнута для поліномів степеня (2п - 1), які визначаються 2n постійними Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева і Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева(і=1,2,...,n).

Завдання полягає у визначенні коефіцієнтівРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишеваі абсцис точок Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева. Для знаходження цих постійних розглянемо виконання формули розрахунку для функцій вигляду


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Враховуючи, що


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


отримаємо систему рівнянь


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Ця система нелінійна, і її звичайне розв'язання пов'язане із значними обчислювальними труднощами. Але якщо використовувати систему для поліномів вигляду


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


де Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева- поліном Лежандра, тоді її можна звести до лінійної відносно коефіцієнтів Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева з заданими точкамиРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева. Оскільки степені поліномів в співвідношенні не перевищують 2п -1, повинна виконуватися система (4) і формула (5) приймає вигляд


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


В результаті властивості ортогональності ліва частина виразу дорівнює 0, тоді


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


що завжди забезпечується при будь-яких значеннях Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева в точкахРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева, які відповідають кореням відповідних поліномів Лежандра.

Підставляючи ці значенняРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева в систему і враховуючи перші n. рівнянь, можна визначити коефіцієнтиРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева.

Формула розрахунку, де Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева- нулі полінома ЛежандраРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева, аРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева

визначаються із системи, називається формулою Гаусса.

ЗначенняРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишевадля різних п наведені в довідниках.

Для довільного Інтервалу (а,b) формула для методу Гаусса приймає вигляд


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Де


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева

Оцінка похибки формули Гаусса з п вузлами визначається із співвідношення


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


деРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева- максимальне значення Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева похідної на ділянці Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


2.Вибір методу інструментальних засобів вирішення задач


Розв’язок даної задачі реалізовано на ЕОМ, причому було складено алгоритм та програму в середовищі Borland Delphi 7. Програма є досить простою та зрозумілою для користувача середнього рівня. Готову програму можна використовувати навіть на мінімальних системних параметрах процесора типу Intel P-100, 8 Мb ОЗУ та операційній системі MS-Windows 95.


3. Функціональне призначення


Розроблена програма дозволяє розрахувати вказаний інтеграл:

Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева,

методами Чебишева та Гауса з кроками 0,1 і 0,05.

Результати виводяться у текстовій формі.


4. Розробка та опис логічної частини програми


В даній курсовій роботі було розроблено програмне забезпечення для розв’язання та дослідження заданого диференційного рівняння. Розвязок ведеться за різницевим алгоритмом. Кодування на мові Паскаль проводилося з застосуванням інтуїтивно-зрозумілих назв змінних та процедур. Також відступи та табуляція дозволяє досить легко збагнути структуру програми.

В інтерфейсі також не допущено зайвих елементів.


5. Керівництво оператору


Для завантаження програми необхідно запустити програмний файл Project1.exe. При цьому зявиться вікно (рис. 1), де можна задати початкові умови, переглянути постановку задачі а також ознайомитися з розв’язком при натисненні кнопки Розвязок.


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева

Рисунок 1. Інтерфейс програми.


6. Результати обчислень


Результати обчислень:

Метод Гауса: 0,9962219100

Похибка: 0,0004163754

Метод Чебишева: 0,9961046200

Похибка: 0,0111120270

Точне розвязання (Mathcad): 1,1367262

Висновки


При виконані даної курсової роботи я навчилась розраховувати інтеграли за допомогою методів Гауса та Чебишева. Було відмічено, що метод Гауса є значно точнішим від Чебишева, за що і отримав назву метода найвищої математичної точності.

Література


Самарський А.А. Вступ в чисельні методи. - М.: Наука,

1987. – 286 с.

2.Квєтний Р.Н., Маліков В.Т. Обчислювльні методи та використання ЕОМ. Вища школа, 1989 – 55 с., 104 с.

Додаток A – Алгоритм роботи програми

Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та ЧебишеваРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та ЧебишеваРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та ЧебишеваРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та ЧебишеваРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та ЧебишеваРозрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева

Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева

Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева


Додаток Б - Лістинг програми


unit Unit1;


interface


uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, Buttons, Math;


type

TForm1 = class(TForm)

GroupBox2: TGroupBox;

BitBtn1: TBitBtn;

BitBtn2: TBitBtn;

BitBtn3: TBitBtn;

Memo1: TMemo;

LabeledEdit1: TLabeledEdit;

procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

procedure BitBtn2Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;


implementation

uses Unit2;


{$R *.dfm}


procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

begin

Form2.ShowModal;

end;


procedure TForm1.BitBtn2Click(Sender: TObject);

const

c = 1.5;

d = 2.0;

n = 3;

tc:array[1..3] of extended = (-0.707107, 0, 0.707107);

tg:array[1..3] of extended = (-0.77459667, 0, 0.77459667);

Ag:array[1..3] of extended = (5/9, 8/9, 5/9);


function f(x:extended):extended;

begin

result := c*x/2+1/cos(d*x);

end;


function f_4(x:extended):extended;

begin

result := power(d,4)*

(24-20*power(cos(d*x),2)+

power(cos(d*x),4))/

power(cos(d*x),5);

end;


function f_6(x:extended):extended;

begin

result := -power(d,6)*

(-720-840*power(cos(d*x),2)-

182*power(cos(d*x),4)+power(cos(d*x),6))/

power(cos(d*x),7);

end;


var

i :integer;

h, x,a,b:Extended;

sumC,sumG,iG,iC,ec,max:Extended;

errC,errG:Extended;

begin

try

h:=StrToFloat(LabeledEdit1.Text);


a := 0.0;

b := 0.785-h;

errC:=0; errG:=0;

x:=a; sumC:=0; sumG:=0;

while x<b do begin

iG:=0; iC:=0; ec:=0; max:=0;

for i:=1 to 3 do begin

iC:=iC+(f((2*x+h)/2+h/2*tC[i]));

iG:=iG+(Ag[i]*f((2*x+h)/2+h/2*tG[i]));

ec:=ec+power((2*x+h)/2+h/2*tC[i]-(2*x+h)/2,n+1)*f_4((2*x+h)/2+h/2*tC[i]);

if f_6((2*x+h)/2+h/2*tG[i])>max then max:=f_6((2*x+h)/2+h/2*tG[i]);

end;

iC:=iC*h/n;

iG:=iG*h/2;

sumC:=sumC+iC;

sumG:=sumG+iG;

max:=power(h,2*n+1)*power(6,4)*max/power(2,2*n+1)/power(120,3)/(2*n+1);


if h/18*ec>errC then errC:=h/18*ec;

if max>errG then errG:=max;


x:=x+h;

end;


a := 0.785+h;

b := 1;

x:=a;

while x<b do begin

iG:=0; iC:=0; ec:=0; max:=0;

for i:=1 to 3 do begin

iC:=iC+(f((2*x+h)/2+h/2*tC[i]));

iG:=iG+(Ag[i]*f((2*x+h)/2+h/2*tG[i]));

ec:=ec+power((2*x+h)/2+h/2*tC[i]-(2*x+h)/2,n+1)*f_4((2*x+h)/2+h/2*tC[i]);

if f_6((2*x+h)/2+h/2*tG[i])>max then max:=f_6((2*x+h)/2+h/2*tG[i]);

end;

iC:=iC*h/n;

iG:=iG*h/2;

sumC:=sumC+iC;

sumG:=sumG+iG;


max:=power(h,2*n+1)*power(6,4)*max/power(2,2*n+1)/power(120,3)/(2*n+1);


if h/18*ec>errC then errC:=h/18*ec;

if max>errG then errG:=max;


x:=x+h;

end;


with Memo1.Lines do begin

clear;

Add('Результати обчислень: ');

Add(' Метод Гауса: '+FloatToStrF(sumG,ffFixed,8,10));

Add(' Похибка: '+FloatToStrF(errG,ffFixed,8,10));

Add(' Метод Чебишева: '+FloatToStrF(sumC,ffFixed,8,10));

Add(' Похибка: '+FloatToStrF(errC,ffFixed,8,10));

Add(' Точне розвязання (Mathcad):

'+FloatToStrF(1.1367262217813367605,ffFixed,8,10));

end;

except

on EConvertError do

Application.MessageBox('Неправильно введен_ дан_', 'Увага');

end;

end;

end.

Похожие работы:

  1. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса
  2. • Дослідження методів чисельного інтегрування
  3. • Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та ...
  4. • Обчислення визначених інтегралів за формулами ...
  5. • Розв"язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
  6. • Дослідження методів чисельного інтегрування
  7. • Дослідження чисельних методів інтегрування
  8. • Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться ...
  9. •  ... математики на тему "Наближені методи обчислення визначених ...
  10. • Інтегрування Нютона-Котеса
  11. • Метод Жордана Гаусса
  12. • Невласні подвійні інтеграли
  13. • Математические модели и методы обоснования управленческих ...
  14. • Числові методи
  15. •  ... забезпечення для розв'язку СЛАР методом Гауса
  16. • Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не ...
  17. • Вивчення процесів дифузії при спіканні ...
  18. • Проектування блоку обробки сигналів
  19. • Еліптичні інтеграли
Рефетека ру refoteka@gmail.com