Оглавление
Задача 1
Вычислить определитель 4-го порядка.
Решение:
Определитель 4-го порядка находится по формуле:
,
где
aij – элемент матрицы;
Мij – минора элемента aij. Минора элемента aij матрицы А называется определитель матрицы, которая была получена путем удаления из матрицы А строк и столбцов, которые содержат элемент aij
Задача 2
Решить систему матричным способом.
Решение:
Введем обозначения:
Тогда в матричной
форме система
имеет вид
,
т.е.
А-1-обратная
матрица, которая
существует
только тогда,
когда исходная
матрица А
невырожденная,
т.е.
Найдем определитель матрицы по формуле:
Так как
,
то матрица А
– невырожденная
и обратная
матрица А-1
существует
и единственная.
Найдем обратную матрицу по формуле:
,
где
-
присоеденненая
матрица, элементы
которой
равны алгебраическим
дополнениям
элементов
матрицы
,
и затем транспонированная.
найдем алгебраического дополнения всех элементов матрицы:
Получается матрица
транспонируем матрицу (т.е. матрица AT, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы)
обратная матрица равна:
Находим значение переменных х1,х2,х3:
Х1=-27, Х2=36, Х3=-9
Задача 3
Решить систему методом Крамера
Решение:
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)
Данную систему представим в виде матрицы:
Найдем определители:
,
(,
т.е. можно применить
метод Крамера)
;
.
Найдем значение x, y:
,
,
Задача 4
Найти общее решение системы, используя метод Жордана-Гаусса:
Решение:
Данную систему представим в виде матрицы:
В качестве
разрешающего
элемента удобнее
взять элемент
а11=1 (т.к. при
делении на «1»
число остается
без изменения).
Делим элементы
строки на разрешающий
элемент а11.
Разрешающие
переменную
х1 следует
исключить из
остальных
уравнений,
поэтому в новой
матрице
в
первом столбце
во всех строках
(кроме 1 строки)
необходимо
поставить
значение «0».
Другие элементы
новой матрицы
находим по
правилу прямоугольника:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например а22=5. Делим элементы разрешающей второй строки на «5». Все элементы первого столбца, кроме а11 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:
;
;
;
;
;
В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой и второй, например а33=1. Делим элементы разрешающей второй строки на «1». Все элементы первого и второго столбца, кроме а11=1 и а22=1 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:
;
;
;
Так как больше строк в качестве разрешающих не осталось, выписываем систему уравнений, которая соответствует последней матрице:
Предполагаем, что х4 – это любое число С, тогда
Х1=3,8-3,4С; Х2=23,6-7,8С; Х3=-33+С
Задача 5
Даны векторы.
Найти:
Решение:
Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В.
Из данных уравнений выделим координаты векторов:
,
где координатами
являются (x,y,z)
т.е. координатами
вектора
являются (18,2,1), а
координатами
вектора
являются
(1,-2,17).
Скалярное произведение векторов находится по формуле:
Длина
вектора
определяется
по формуле: