Рефетека.ру / Математика

Дипломная работа: * Алгебры и их применение

Дипломная работа специалиста

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского

Симферополь 2003

Введение

Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P2

P2 = С < p1, p2 | p12 = p1* = p1, p22 = p2* = p2 >,

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:

4 одномерных: π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1;

π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.

И двумерные: * Алгебры и их применение , * Алгебры и их применение τ * Алгебры и их применение (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2, аР1+bР2 (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р1+Р2 или А = аР1+bР2, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).

Глава I. Основные понятия и определения

§ 1. * Алгебры и их применение- алгебры

Определение * Алгебры и их применение- алгебры.

Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб- рой, если:

А есть линейное пространство;

в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет- воряющая следующим условиям:

α (x y) = (α x) y,

x (α y) = α (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z * Алгебры и их применение А и любых чисел α.

Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере- становочны.

Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x* алгебры А в А, что

(x*)* = x;

(x + y)* = x* + y*;

(α x)* = * Алгебры и их применение x*;

(x y)* = y*x* для любых x, y * Алгебры и их применение С.

Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само- сопряженным.

Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.

1.2. Примеры

На А = С отображение z →* Алгебры и их применение (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.

Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре- рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество {t* Алгебры и их применениеT: |f (t)| * Алгебры и их применение ε} компактно, f (t) * Алгебры и их применение А. Снабжая А отображением f→* Алгебры и их применение получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

Пусть Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.

Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А→А* (А* Алгебры и их применениеК(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S* Алгебры и их применение H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.

Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов * Алгебры и их применение.

Алгебра W есть *- алгебра, если положить * Алгебры и их применение. (* Алгебры и их применение)

1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию

ех = хе = х для всех х* Алгебры и их применениеА (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А.

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А, то

е΄х = хе΄ = х, для всех х* Алгебры и их применениеА (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:

ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.

* Алгебры и их применениеДоказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х, х* Алгебры и их применениеА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой основные операции определяются формулами:

β(αе + х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е + х2) = (α1 + α2)е + (х1 + х2),

(α1 е + х1)(α2 е+ х2 )=α1 α2 е +α1 х2 +α2 х1 + х1 х2 (1.3.)

Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде

х΄ = αе + х, х* Алгебры и их применениеА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, х* Алгебры и их применениеА, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при α = 0.

* Алгебры и их применениеАлгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), х* Алгебры и их применениеА, в которой основные операции определяются по формулам:

β (α, х) = (βα, βх), (α1, х1) + (α2, х2) = (α1 + α2, х1 + х2),

(α1, х1)(α2, х2) = (α1α2, α1х2 + α2 х1 + х1х2), (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), х* Алгебры и их применениеА и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,

так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.

Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим

z = (yx)z = y(xz) = ye,

В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х.

1.4. Простейшие свойства * Алгебры и их применение- алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого х* Алгебры и их применениеА элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z* Алгебры и их применениеC * Алгебры и их применение, но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде * Алгебры и их применение.

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2 – эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 +iх2, следовательно:

* Алгебры и их применение, * Алгебры и их применение (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 +iх2.

Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х.

Заметим, что хх* = х12 + х22 + i(х2х1 – х1х2),

хх* = х12 + х22 - i(х2х1 – х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив * Алгебры и их применение при х* Алгебры и их применениеА, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и

(х*)-1 = (х-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х-1х = хх-1 = е,

получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.

Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А1 алгебры А называется *-подалгеброй, если из х* Алгебры и их применениеА1 следует, что х** Алгебры и их применениеА1 .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S* Алгебры и их применение А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует, то х-1* Алгебры и их применениеВ.

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1* Алгебры и их применениеВ.

Определение 1.6. Элемент х* Алгебры и их применениеА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен.

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (αx) = α f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х,y* Алгебры и их применениеА, α* Алгебры и их применениеС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

I ≠ A;

Из х, y* Алгебры и их применениеI следует x + y * Алгебры и их применениеI;

Из х* Алгебры и их применениеI, а α* Алгебры и их применениеА следует α х* Алгебры и их применениеI.

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-y* Алгебры и их применениеI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из х* Алгебры и их применениеI следует х** Алгебры и их применениеI.

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-y* Алгебры и их применениеI, то х*-y** Алгебры и их применениеI. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄.

Обратно, отображение х → [х] каждого элемента х* Алгебры и их применениеА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.

§ 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что

π (x+y) = π (x) + π (y), π (α x) = α π(x),

π (xy) = π (x) π (y), π (x*) = π (x)*

для любых х, y * Алгебры и их применение А и α * Алгебры и их применение С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.

Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры А в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х) в π2(х) для любого х* Алгебры и их применениеА, то есть

U π1(х) = π2(х) U для всех х * Алгебры и их применение А.

Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех х* Алгебры и их применениеА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.

Определение 2.4. Подпространство Н1* Алгебры и их применениеН называется инвариантным, относительно представления π, если π (А)Н1* Алгебры и их применениеН1.

Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (х* Алгебры и их применениеА) можно рассматривать как операторы Н1. Сужения π(х) на Н1 определяют подпредставления π1 *-алгебры А в Н1.

Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех g* Алгебры и их применениеН1. Тогда для любого х* Алгебры и их применениеА (π(х)f, g) = (f, π(х)*g) = (f, π(х*)g) = 0, так как π(х*)g* Алгебры и их применениеН1. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н1.

Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1* Алгебры и их применениеН1.

Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.

Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство и f* Алгебры и их применениеН1, но также π(х)f * Алгебры и их применениеН1. Отсюда для любого вектора f* Алгебры и их применениеН

π(х)Р1f * Алгебры и их применениеН1

следовательно, Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f ,

то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р1π(х)Р1 = Р1π(х).

Следовательно, Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f* Алгебры и их применениеН1

Р1π(х)f = π(х)Р1f = π(х)f ;

Следовательно, также π(х)f * Алгебры и их применениеН1. Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост- ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f1 + … + fn, где f1, …, fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f1 +…+ π(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi)i* Алгебры и их применениеI - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Нi (i* Алгебры и их применениеI). Пусть

|| πi (х) || ≤ сх

где сх – положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Нi, то есть Н = * Алгебры и их применениеНi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует πi (х) в каждом Нi. Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений πi и обозначаемое * Алгебры и их применениеπi или π1* Алгебры и их применение…..* Алгебры и их применениеπn в случае конечного семейства представлений (π1…..πn). Если (πi)i* Алгебры и их применениеI – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления * Алгебры и их применениеπi обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f0 ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.

Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.

Обозначим через М совокупность всех систем {Нα}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нα}* Алгебры и их применениеМ будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Нα}. Но тогда Н=* Алгебры и их применениеНα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(* Алгебры и их применениеНα) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нα}* Алгебры и их применениеН0* Алгебры и их применениеМ, содержащую максимальную систему {Нα}, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление π неприводимо. При f* Алгебры и их применениеН, f ≠ 0, подпространство, натянутое на векторы π(х)f , х* Алгебры и их применениеА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

{α f | α * Алгебры и их применениеC} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н.

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни- ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0 такое, что E(λ) =0 при λ<λ0 и E(λ) =1 при λ>λ0 . Отсюда

В=* Алгебры и их применениеλ dE(λ) = λ0 1.

Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста- новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,

В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В1=* Алгебры и их применение, В2=* Алгебры и их применение также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В – скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н → Н΄ такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого х* Алгебры и их применениеА, называется оператором сплетающим π и π΄.

Пусть Т : Н → Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т* : Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ и π, так как

Т* π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*

Отсюда получаем, что

Т* Тπ(х)=Т* π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.)

Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого х* Алгебры и их применениеА

Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T| (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

Uπ(х) = π΄(х)U (2.3.)

Если, кроме того, * Алгебры и их применение= Н΄, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Н΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.

Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π1* Алгебры и их применение…..* Алгебры и их применениеπn , где πi неприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ * Алгебры и их применение π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π1* Алгебры и их применение…..* Алгебры и их применениеπn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ1, ρ2 – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1 и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi . Итак, перегруп- пировав πi , получаем, что π = ν1* Алгебры и их применение…..* Алгебры и их применениеνm, где каждое νi есть кратное ρiνi΄ неприводимого представления νi΄, и νi΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных νi΄. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ1ν1΄* Алгебры и их применение…..* Алгебры и их применениеρmνm΄ представления π, (где ν1΄,…, νm΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρi и классы представлений νi΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: Т* Алгебры и их применениеВ, Ø* Алгебры и их применениеВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε = ((H(t))t* Алгебры и их применениеT, Г), где (H(t))t* Алгебры и их применениеT – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г – векторное подпространство * Алгебры и их применениеН(t);

существует последовательность (х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого t* Алгебры и их применениеT элементы хn(t) образуют последовательность H(t);

для любого х* Алгебры и их применениеГ функция t→||x(t)|| μ – измерима;

пусть х – векторное поле; если для любого y* Алгебры и их применениеГ функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то х* Алгебры и их применениеГ.

Пусть ε = ((H(t))t* Алгебры и их применениеT, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если х* Алгебры и их применениеГ и * Алгебры и их применение||x(t)||2 dμ(t) < +∞.

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λ* Алгебры и их применениеС) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = * Алгебры и их применение(x(t), y(t)) dμ(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое * Алгебры и их применениеx(t)dμ(t).

Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))t* Алгебры и их применениеT, Г) – измеримое поле гильбер- товых пространств на Т. Пусть для любого t* Алгебры и их применениеT определен оператор S(t)* Алгебры и их применениеL(H(t)). Если для любого х* Алгебры и их применениеT поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная мера на Т, t→Н(t) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого t* Алгебры и их применениеT задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого х* Алгебры и их применениеА поле операторов t→π(t)х измеримо.

Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого х* Алгебры и их применениеА можно образовать непрерывный оператор π(х)=* Алгебры и их применениеπ(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост- ранстве Н =* Алгебры и их применениеН(t) dμ(t).

Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, y* Алгебры и их применениеА имеем

π(х+y) = * Алгебры и их применениеπ(t) (x+y) dμ(t) = * Алгебры и их применение(π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =* Алгебры и их применениеπ(t) (x )dμ(t) +

+* Алгебры и их применениеπ(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)

Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π =* Алгебры и их применениеπ(t) dμ(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)* Алгебры и их применениеL(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=* Алгебры и их применениеН(t)dμ(t).

Пусть ε = ((H(t))t* Алгебры и их применениеT, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=* Алгебры и их применение. Тогда отображение, которое каждому х* Алгебры и их применениеН==* Алгебры и их применениеН(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н1=* Алгебры и их применениеН(t) dμ1(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.

Действительно,

||* Алгебры и их применениеρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = * Алгебры и их применение||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = * Алгебры и их применение||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =* Алгебры и их применениеН(t) dμ(t) , π1==* Алгебры и их применениеπ(t )dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 – мера на Т, эквивалентная μ,

Н1 =* Алгебры и их применениеН(t) dμ1(t) , π1 =* Алгебры и их применениеπ(t) dμ1(t),

Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1.

Доказательство. Пусть ρ(t)=* Алгебры и их применение. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =* Алгебры и их применениеx(t) dμ(t)* Алгебры и их применениеН в

Ux = * Алгебры и их применениеρ-1/2х(t) dμ1(t).

Пусть α * Алгебры и их применениеА. Имеем

π1(α)Ux = * Алгебры и их применениеπ(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = U* Алгебры и их применениеπ(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,

поэтому и преобразуем π в π1. Тогда если S* Алгебры и их применениеД, то аналогично SUx = USx, для любого х* Алгебры и их применениеН.

Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевские пространства; μ, μ1 – меры на Т и Т1 соответственно; ε = ((H(t))t* Алгебры и их применениеT, Г), Z1 = ((H1(t1))t1* Алгебры и их применениеT1, Г), - μ-измеримое и μ1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1 – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1; η-изоморфизм ε на ε1 называется семейство (V(t))t* Алгебры и их применениеT, обладающее следующими свойствами:

для любого t* Алгебры и их применениеT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(η(t));

для того, чтобы поле векторов t→x(t)* Алгебры и их применениеH(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) * Алгебры и их применениеН1(η(t)) на Т1 было μ1-измеримо.

Отображение, переводящее поле х* Алгебры и их применениеН =* Алгебры и их применениеН(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t) * Алгебры и их применениеН1 = * Алгебры и их применениеН1(t) dμ1(t) , есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый * Алгебры и их применениеV(t) dμ(t).

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =* Алгебры и их применениеН(t) dμ(t), π ==* Алгебры и их применениеπ(t) dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t1→H1(t1), t1→ π1(t1), Н1, π1, Д1.

Предположим, что существует:

N, N1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;

борелевский изоморфизм η: TN →TN1, преобразует μ в μ1;

η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (t* Алгебры и их применениеZN) на поле t1→Н1(t1) (t1* Алгебры и их применениеТ1N1) такой, что V(t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t.

Тогда V =* Алгебры и их применениеV(t)dμ(t) преобразует Д в Д1 и π в π1.

Доказательство. Обозначим через It, It1 единичные операторы в Н(t) и Н1(t1). Если f* Алгебры и их применениеL∞(T, μ) и если f1 – функция на Т1N1, получаемая из f|(TN) при помощи η, то V преобразует * Алгебры и их применениеf(t)It dμ(t) в * Алгебры и их применениеf1(t1) It1 dμ1(t1), поэтому V преоб- разует Д в Д1. С другой стороны, пусть α* Алгебры и их применениеА и х = * Алгебры и их применениех(t) dμ(t)* Алгебры и их применениеН.

Тогда

Vπ(α)х = V* Алгебры и их применениеπ(t)(α) х(t) dμ(t) = * Алгебры и их применениеV(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = * Алгебры и их применениеπ1(t1)(α) V(η-1(t1)) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1 (α) V х

Поэтому V преобразует π в π1.

Приведем примеры прямых интегралов.

Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств * Алгебры и их применение и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого n* Алгебры и их применениеN. Тогда

* Алгебры и их применениеН(n) dμ(n) = * Алгебры и их применениеН(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ- ной сумме.

Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке t* Алгебры и их применениеТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда * Алгебры и их применениеС dt = L2 (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = * Алгебры и их применениех(t) dt →х(t)* Алгебры и их применениеL2 (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть * Алгебры и их применение - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, * Алгебры и их применение - некоторый ортонормированный базис в Нк.

Образуем формальное произведение

* Алгебры и их применение (3.1.)

α = (α1,…, αn) * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение (n раз), то есть рассмотрим упорядо- ченную последовательность (* Алгебры и их применение ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро- ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1* Алгебры и их применение,…, * Алгебры и их применениеНn = * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение. Его векторы имеют вид:

f = * Алгебры и их применение (fα* Алгебры и их применениеC), || f ||2 =* Алгебры и их применение< ∞ (3.2.)

Пусть g = * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение, тогда скалярное произведение опреде- ляется формулой

(f, g) = * Алгебры и их применение (3.3.)

Пусть f(k) = * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение(к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f(1)* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение f(n) = * Алгебры и их применение (3.4.)

Коэффициенты fα = * Алгебры и их применение разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение, при этом

|| f || = * Алгебры и их применение (3.5.)

Функция Н1* Алгебры и их применение,…, * Алгебры и их применениеНn * Алгебры и их применение<* Алгебры и их применение> * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается α. * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса * Алгебры и их применениев каждом сомножителе * Алгебры и их применение. При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1* Алгебры и их применение f2, причем считается, что

(f1 + g1)* Алгебры и их применение f2 = f1* Алгебры и их применение f2 + g1* Алгебры и их применение f2 (3.6.)

f1* Алгебры и их применение (f2 + g2) = f1* Алгебры и их применение f2 + f1* Алгебры и их применение g2 (3.7.)

(λ f1)* Алгебры и их применение f2=λ (f1* Алгебры и их применение f2) (3.8.)

f1* Алгебры и их применение λ (f2) = λ (f1* Алгебры и их применение f2) (3.9.)

f1, g1* Алгебры и их применениеН1; f2, g2 * Алгебры и их применениеН2; λ * Алгебры и их применениеС.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f1* Алгебры и их применение f2 , g1* Алгебры и их применение g2 ) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.)

f1, g1* Алгебры и их применениеН1; f2, g2 * Алгебры и их применениеН2,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть * Алгебры и их применение, * Алгебры и их применение - две последовательности гильбер- товых пространств, * Алгебры и их применение - последовательность операторов Ак* Алгебры и их применениеL(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеАn = * Алгебры и их применениеАк формулой

(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение) f = * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение) = * Алгебры и их применение (3.11.)

(f * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в * Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеи определяет оператор * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение L (* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение, * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение), причем

|| * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение|| = * Алгебры и их применение|| * Алгебры и их применение|| (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1* Алгебры и их применение,…, * Алгебры и их применениеНn = (Н1* Алгебры и их применение,…, * Алгебры и их применениеНn-1)* Алгебры и их применениеНn общий случай получается по индукции.

Пусть * Алгебры и их применение- некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g = * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеG1* Алгебры и их применение G2. В качестве f возьмем вектор из Н1* Алгебры и их применение Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fα.

Зафиксируем α2, β1 * Алгебры и их применение Z+ и обозначим через f(α2) * Алгебры и их применениеН1 вектор f(α2) = * Алгебры и их применение и через g(β1)* Алгебры и их применениеG2 – вектор g(β1) =* Алгебры и их применение. Получим

* Алгебры и их применение= * Алгебры и их применение=

= * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение=

= * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение=

= * Алгебры и их применение

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1* Алгебры и их применениеG2 ряда * Алгебры и их применение уже при произвольном c * Алгебры и их применениеН1* Алгебры и их применениеН2 и оценка его нормы в G1* Алгебры и их применениеG2 сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом, оператор A1* Алгебры и их применение A2: Н1* Алгебры и их применение Н2 →G1* Алгебры и их применениеG2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1|| ||A2||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A1* Алгебры и их применение A2) (f1* Алгебры и их применение f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2|| (fк * Алгебры и их применениеНк , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому неравенство ||(A1* Алгебры и их применение A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для Ак * Алгебры и их применениеL(Hк, Gк), Вк * Алгебры и их применениеL(Hк, Gк) (к = 1,…, n) соотношения

(* Алгебры и их применениеВк) (* Алгебры и их применениеАк) = * Алгебры и их применение(Вк Ак) (3.13.)

(* Алгебры и их применениеАк)* = * Алгебры и их применениеАк* (3.14)

(* Алгебры и их применениеАк) (f1* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение fn) = A1 f1* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение An fn (3.15.)

(fк * Алгебры и их применениеHк; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор * Алгебры и их применениеАк.

Приведем пример. Пусть Hк = L2(* Алгебры и их применение(0,1), d (* Алгебры и их применениеmк)) = L2

Действительно, вектору вида (3.1.) * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение поставим в соответствие функцию * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеL2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между * Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеи L2.

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2

P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p1 – 1, v = 2p2 – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:

P2 = С < p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = C <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

Обозначим через Рк = π(рк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и π - *-представление, то Рк2 = Рк* = Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = {y* Алгебры и их применениеH | Рк y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.

Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.

Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.

Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 . Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк┴ - ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1* Алгебры и их применениеН1┴ , Н=H2* Алгебры и их применениеН2┴

Введем дополнительные обозначения :

Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴, Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2. (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид * Алгебры и их применение. Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1, e2}.

* Алгебры и их применениеПусть g1 = a11e1 + a12 e2

* Алгебры и их применение g2 = a21e1 + a22e2

e1 = b11g1 + b12g2

e2 = b21g1 + b22g2

Рассмотрим векторы h1 = eite1 и h2 = eile2, тогда

|| h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1

(h1 ,h2 ) = (eite1 , eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1 ,h2} – ортонормированный базис.

Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1, Р1h2 =eil Р1 e2 = 0.

Значит в базисе {h1 ,h2} матрица оператора Р1 также имеет вид * Алгебры и их применение. Тогда можно считать, что a11, a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1)

(e1, e2 ) = 0, значит a11 a21 = a12 a22 = 0 или * Алгебры и их применение, тогда существует такое комплексное число r, что

* Алгебры и их применениеa22 = - ra11

a21 = ra12

Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно

* Алгебры и их применениеa112 + a122 = 1

|a22 |2 + |a21 |2 = 0

тогда | r | = 1.

Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2,

Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2.

Найдем b11 и b21:

e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2,

* Алгебры и их применениеb11a11 + b12a12 = 1

b11a12 + b12a22 = 0 или

* Алгебры и их применениеb11a11 + b12a12 r = 1

b11a12 - b12a11 r = 0,

Тогда b11 = a11.

Аналогично

E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2,

* Алгебры и их применениеb21a11 + b22a21= 0

b21a12 + b22a22 = 1,

отсюда находим, что b21 = a12.

Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)

Р2 = * Алгебры и их применение, где a11>0, a12>0 и a112 + a122 =1

А) Пусть a112 = τ, тогда a122 =1 – τ, a11a12 = * Алгебры и их применение. Так как a11a12 >0, то τ* Алгебры и их применение(0, 1).

Тогда Р2 = * Алгебры и их применение.

В) Положим a11 = cosφ,тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом

Р2 = * Алгебры и их применение.

Найдем коммутант π(P2). Пусть Т = * Алгебры и их применение оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда

ТР1 = * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение = * Алгебры и их применение

Р1Т = * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение = * Алгебры и их применение

Следовательно b = c = 0.

ТР2 = * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение = * Алгебры и их применение

Р2Т = * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение = * Алгебры и их применение

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ, ν* Алгебры и их применение(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР1 = Р1U, следовательно U= * Алгебры и их применение, a, b * Алгебры и их применениеC

UР2 (τ) = * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение = * Алгебры и их применение

Р2 (ν) U = * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение = * Алгебры и их применение.

Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2) = 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2) = 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p1) * Алгебры и их применение , π(p2) * Алгебры и их применение τ* Алгебры и их применение (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p2) = * Алгебры и их применение φ* Алгебры и их применение (0, * Алгебры и их применение).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х* Алгебры и их применениеН1 такой, что Р1Р2х = λх, где λ* Алгебры и их применениеС.

Доказательство. Пусть * Алгебры и их применение, * Алгебры и их применение ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид * Алгебры и их применение, где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение * Алгебры и их применение

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как х* Алгебры и их применениеН1, то * Алгебры и их применение, gk * Алгебры и их применениеC, к = 1,…, n. Тогда

Р1Р2х = Р1Р2* Алгебры и их применение= Р1Р2* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение= Р1* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение=

= Р1* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение= * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение= * Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение)* Алгебры и их применение = * Алгебры и их применение

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn:

* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение= * Алгебры и их применение

j = 1,…, n

Подбирая λ* Алгебры и их применениеC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b * Алгебры и их применениеС имеем

Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх = (a + λb) х * Алгебры и их применениеL,

Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 х * Алгебры и их применениеL

dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР2х = 0, где, например, а ≠ 0, то х = * Алгебры и их применение Р2х, значит * Алгебры и их применение= 0 или 1 и х * Алгебры и их применениеН1,1; тогда Н1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред- ставлений *-алгебры P2 . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе- ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств

Н = Н0,0* Алгебры и их применениеН0,1* Алгебры и их применениеН1,0* Алгебры и их применениеН1,1 * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(С2* Алгебры и их применениеНк)), (1.1.)

где каждому подпространству Нк соответствует одно φк* Алгебры и их применение (0, * Алгебры и их применение), φк ≠ φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть Рi,j: Н → Нi,j , Рφк: Н → С2* Алгебры и их применениеНк – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P0,0* Алгебры и их применение P0,1* Алгебры и их применение P1,0 * Алгебры и их применениеP1,1* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применениеРφк), (1.2.)

P1 = P1,0* Алгебры и их применениеP1,1* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк )) (1.3)

Р2 = P0,1 * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк )) (1.4)

где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н0,0* Алгебры и их применение Н0,1* Алгебры и их применение Н1,0 * Алгебры и их применениеН1,1 * Алгебры и их применение Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого- нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк* Алгебры и их применение (0, * Алгебры и их применение):

Н΄ = * Алгебры и их применениеНφк, (l = n - * Алгебры и их применение)

Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм

Нφк* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеНφк ≈ С2* Алгебры и их применениеНк , где Нφк nк экземпляров, dim(Нφк* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеНφк )=2nк dim(С2* Алгебры и их применениеНк) = dimС2 dimНк = 2nк . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н0,0 * Алгебры и их применение Н0,1* Алгебры и их применение Н1,0 * Алгебры и их применениеН1,1 * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(С2* Алгебры и их применениеНк))

Пусть πi,j – сужение π на Нi,j ( i, j= 0,1), πк – сужение π на Нφк (к = 1,…, m), то есть πi,j и πк - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n0,0π0,0* Алгебры и их применениеn0,1π0,1* Алгебры и их применениеn1,0π1,0* Алгебры и их применениеn1,1π1,1* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применениеnкπк) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P0,0 * Алгебры и их применение P0,1* Алгебры и их применение P1,0 * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применениеРφк)

Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид

P1 = P1,0 * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк ))

Р2 = P0,1 * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение * Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк ))

Причем n1,0π1,0(р1) = P1,0 , n0,1π0,1(p2) = P0,1 , n1,1π1,1(р1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно

UА = АU-1 или АU = U-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВL* Алгебры и их применениеL, но тогда ВL* Алгебры и их применениеАL* Алгебры и их применениеL, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть * Алгебры и их применениеL* Алгебры и их применениеН: АL* Алгебры и их применениеL и ВL* Алгебры и их применениеL, то из включения АВL* Алгебры и их применениеАL* Алгебры и их применениеL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2 неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р1 и Р2 приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство L* Алгебры и их применениеН такое, что Р1L* Алгебры и их применениеL, Р2L* Алгебры и их применениеL. Рассмотрим АL = (2Р1 – I)L* Алгебры и их применениеL, ВL = (2Р2 – I)L* Алгебры и их применениеL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1 и Р2 также будут приводимы, так как Р1L = * Алгебры и их применениеL* Алгебры и их применениеL, Р2L = * Алгебры и их применениеL* Алгебры и их применениеL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если eiφ* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение(U), то e-iφ* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение(U).

Доказательство.

1) Если eiφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует f* Алгебры и их применениеН: ||f|| = 1 и Uf = eiφ f. Тогда по (2.1.) UАf = АU-1f = eiφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e-iφ принадлежит спектру U.

2) Если eiφ* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение(U), то существует последовательность единичных векторов * Алгебры и их применение в Н || fn || = 1 такая, что

||Ufn - eiφfn || = || UАfn - eiφ A fn || = || U-1Аfn - eiφ A fn || → 0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)

Тогда eiφ* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение(U-1), следовательно e-iφ* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение(U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U-1) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А

А (U - U-1) = А (U2 – 2I + U-2) = (U2 – 2I + U-2)А = (U - U-1)2А

Таким образом А (U + U-1) = (U-1 +U)А (2.2.)

А (U - U-1) = (U - U-1)2А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U-1 = cI

(U - U-1)2 = d2I

где c, d * Алгебры и их применениеС. По теореме преобразования спектров eiφ+ e-iφ = c, eiφ- e-iφ = ±d.

Если d = 0, то * Алгебры и их применение(U) состоит из одной точки eiφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, х* Алгебры и их применениеH.

Если d ≠ 0, то * Алгебры и их применение(U) дискретен и состоит из двух точек eiφ=* Алгебры и их применение и e-iφ=* Алгебры и их применение φ* Алгебры и их применение(0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ (или e-iφ), Нeiφ = {f* Алгебры и их применениеH | Uf = eiφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = eiφf, U(Аf) = eiφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ= dimН-eiφ=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что * Алгебры и их применение(U) = {eiφ, e-iφ} φ* Алгебры и их применение(0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = * Алгебры и их применение, U = * Алгебры и их применение, В = * Алгебры и их применение

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1, Р2 ортопроекторов лишь одномер- ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0* Алгебры и их применениеН0,1* Алгебры и их применениеН1,0 * Алгебры и их применениеН1,1* Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(С2* Алгебры и их применениеL2((0, * Алгебры и их применение), dρк))) (2.4.)

где ρ1 > ρ2 >… ρк меры на интервале (0, * Алгебры и их применение), такое, что имеют место равенства

P1 = P1,0 * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк )) (2.5.)

Р2 = P0,1 * Алгебры и их применениеP1,1* Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк )) (2.6.)

Iк – единичный оператор в L2((0, * Алгебры и их применение), dρк)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н0,0 * Алгебры и их применение Н0,1* Алгебры и их применение Н1,0 * Алгебры и их применениеН1,1 * Алгебры и их применение Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2 отвечает циклическое представление πF *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μF на Т.

Пусть каждому вектору ξ* Алгебры и их применениеН поставим в соответствие подпространство Нξ * Алгебры и их применение Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где х* Алгебры и их применениеА. Ограничения операторов из π(А) на Нξ является циклическим представлением. Обозначим его через πξ, а соответствующую меру на Т через μξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μξ > μη (то есть μη абсолютно непрерывна по мере μξ).

Если η* Алгебры и их применениеНξ, то Нη* Алгебры и их применениеНξ, тогда πη – циклическое подпредставление πξ. Пусть Е* Алгебры и их применение Т и μξ (Е) = 0, тогда μη (Е) = 0, следовательно μξ > μη, а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = * Алгебры и их применениеНηк. Пусть {ζi} – последовательность, в которой каждый из векторов ηi встречается бесконечное число раз. Определим ξк индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

ξк+1 – максимальный вектор в (* Алгебры и их применениеНξi)┴,

d (ζк, * Алгебры и их применениеНξi) ≤ * Алгебры и их применение.

Тогда разложение Н = * Алгебры и их применениеНξк такое что ξк>ξк+1 и μк>μк+1 .

Пусть представления πμ в L2(Т, μ) и πν в L2(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2(Т, μ) →L2(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπμ(g)f = πν (g)vf = πν (g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a|2dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = * Алгебры и их применение(С2* Алгебры и их применениеL2(Т, μк)), где μ1>μ2>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P1 = P1,0 * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк ))

Р2 = P0,1 * Алгебры и их применениеP1,1* Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк ))

Iк – единичный оператор в L2((0, * Алгебры и их применение), dρк).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0* Алгебры и их применениеН0,1* Алгебры и их применениеН1,0 * Алгебры и их применениеН1,1* Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеС2* Алгебры и их применениеН(φ)dЕ(φ) (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и определенное на Т = (0, * Алгебры и их применение) разложение dЕ(φ) единичного оператора I+=E(0, * Алгебры и их применение) в Н+ =* Алгебры и их применениеС2* Алгебры и их применениеН(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство

P1 = P1,0 * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеI+ (2.8.)

Р2 = P0,1 * Алгебры и их применениеP1,1* Алгебры и их применение * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеdЕ(φ) (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве * Алгебры и их применениеL2(R, dρк), где ρк зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то * Алгебры и их применение(Р) = * Алгебры и их применениер (Р) = {0, 1}, где * Алгебры и их применениер (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - λх = y, х, y* Алгебры и их применение Н, λ* Алгебры и их применение С. Тогда (1 - λ) Рх = Рy . Если λ ≠ 1, то Рх = * Алгебры и их применениеРy. Если х ≠ 1, то х = * Алгебры и их применение(* Алгебры и их применениеРy - y), тогда * Алгебры и их применение(Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх ≠ 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениер (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0 * Алгебры и их применение* Алгебры и их применениер (Р). Итак, * Алгебры и их применение(Р) = * Алгебры и их применениер (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк – область значений оператора Рк к = 1,2. Обозначим через А = Р1 + Р2 и найдем * Алгебры и их применение(А).

1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х* Алгебры и их применение Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение (А).

2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х* Алгебры и их применение Н2 = Н Ах = х, то есть 1 * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение (А).

3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х* Алгебры и их применение Н1 = Н Ах = х.

4) Р1 = Р2 = I, то для любого х* Алгебры и их применение Н1 = Н2 = Н Ах = Р1х + Р2х = 2х, то есть 2 * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение (А).

Таким образом, если dimH =1, то * Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение{0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х* Алгебры и их применение Н0,0 , тогда Ах = 0 и 0 * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение (А).

2) х* Алгебры и их применение Н0,1 или х* Алгебры и их применение Н1,0 , тогда Ах = х и 1 * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение (А).

3) х* Алгебры и их применение Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2 * Алгебры и их применение* Алгебры и их применение (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Нi,j * Алгебры и их применение Нk,l = H. В этом случае * Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение{0, 1, 2}.

Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2, тогда АL* Алгебры и их применениеL. Пусть х* Алгебры и их применение L, тогда Рkх = λкх (k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможны случаи:

λ1 = 0, λ2 = 0;

λ1 = 0, λ2 = 1;

λ1 = 1, λ2 = 0;

λ1 = 1, λ2 = 1;

Но это означает, что * Алгебры и их применение k,l = 0,1 такие, что Нk,l ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р1 = * Алгебры и их применение, Р2 * Алгебры и их применение τ* Алгебры и их применение (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 + bР2, a и b* Алгебры и их применение С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР1 + bР2 – λI) = 0.

* Алгебры и их применение

* Алгебры и их применение (1.1.)

Тогда * Алгебры и их применение, * Алгебры и их применение (1.2)

Положим a = 1, b =1, ε = * Алгебры и их применение, тогда λ1 = 1+ε , λ2 = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ<1.

Тогда * Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение{0, 1, 2}* Алгебры и их применение{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =К* Алгебры и их применениеL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х* Алгебры и их применение Н существует единственное разложение x = k +l, k* Алгебры и их применение K, l* Алгебры и их применение L. Пусть λ* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение (А), тогда Ах = λх =λk +λl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0 = Н0,0, Н1=Н0,1* Алгебры и их применениеН1,0, Н2=Н1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφк φк* Алгебры и их применение (0, * Алгебры и их применение), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в Нφк (к = 1,…, s), и собственные значения 1+εк, 1-εк входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Нφк = Н1+εк * Алгебры и их применениеН1-εк , причем dimН1+εк = dimН1-εк = 1 (1.3)

Если φк ≠ φi, то εк ≠ εi (так как εк = * Алгебры и их применение=cosφк и φк* Алгебры и их применение (0, * Алгебры и их применение)). Объединим все Нφк , у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, и обозначим его через Нφк. При этом, если dimНφк = 2qk, то есть Нφк состоит из qk экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нφк = Н1+εк * Алгебры и их применениеН1-εк , dimН1+εк = dimН1-εк = qk.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда

* Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение{0, 1, 2}* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение{1+ε , 1-ε}), 0<εк<1,

причем dimН1+εк = dimН1-εк к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:

* Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение{0, 1, 2}* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение{1+ε , 1-ε}), где 0<εк<1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН1+εк = dimН1-εк . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н(0)* Алгебры и их применение Н(1) * Алгебры и их применениеН(2)* Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(С2* Алгебры и их применениеНк)) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н(0)* Алгебры и их применение Н(1) * Алгебры и их применениеН(2)* Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(С2* Алгебры и их применение(Н1+εк * Алгебры и их применениеН1-εк ))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом

P1 = PН2* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк )) (1.6.)

Р2 = PН1 * Алгебры и их применениеPН2 * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение * Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк )) (1.7.)

где PНк – ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is – единичный оператор в Hs s=1,…, m. Но тогда

Р1 + Р2 = PН1 * Алгебры и их применениеPН2 * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение * Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ1 + λ2 = a + b. Пусть λ2 = ε, тогда λ1 = a + b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-τ) = (a - b)2 + 4abτ > 0.

Тогда ε = * Алгебры и их применение > * Алгебры и их применение= 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда

a ≤ * Алгебры и их применение

* Алгебры и их применение≤ b – a

(b - a)2 +4abτ ≤ (b – a)2

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a

Итак,

* Алгебры и их применениеλ1 = ε

λ2 = a + b – ε. (1.8.)

0 < ε < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда

* Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение{0, a, b, a + b}* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение{εк , a + b - εк}), 0<εк<1, и

dimНεк = dimНa+b-εк (Нεк , Нa+b-εк - собственные подпространства оператора А, отвечающие εк) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2, 0<a<b. Найдем * Алгебры и их применение(А).

1) х* Алгебры и их применение Н0,0, то Ах = 0 и 0* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение(А);

2) х* Алгебры и их применение Н0,1 , то Ах = bx и b* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение(А);

3) х* Алгебры и их применение Н1,0 , то Ах = ax и a* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение(А);

4) х* Алгебры и их применение Н1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b* Алгебры и их применение* Алгебры и их применение(А).

Тогда * Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение{0, a, b, a + b}* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение{εк , a + b - εк}), где 0<εк<1, к=1,…m. Причем числа εк, a + b - εк входят одновременно в спектр А, и соответству- ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εк также инвариантна относительно А и dimНεк = dimНa+b-εк = qk. (с учетом кратности εк)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н(0)* Алгебры и их применение Н(a) * Алгебры и их применениеН(b)* Алгебры и их применениеН(a+b)* Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(С2* Алгебры и их применениеНк)) (1.9.)

Где Н(0)=Н0,0 , Н(a) =Н1,0 , Н(b)=Н0,1 , Н(a+b)=Н1,1 или

Н = Н(0)* Алгебры и их применение Н(a) * Алгебры и их применениеН(b)* Алгебры и их применениеН(a+b)* Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(Нεк* Алгебры и их применение Нa+b-εк) (1.10.)

Положим

P1 = Pa* Алгебры и их применениеPa+b * Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк )) (1.11.)

Р2 = Pb * Алгебры и их применениеPa+b * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение * Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк )) (1.12.)

Но тогда

aР1 + bР2 = aPa* Алгебры и их применениеbPb * Алгебры и их применение (а+b)Pa+b * Алгебры и их применение (a* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк ))* Алгебры и их применение

* Алгебры и их применение(b* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение{εк , a + b - εк}), (0<εк<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только тогда, когда * Алгебры и их применение(А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н0 * Алгебры и их применение Н1* Алгебры и их применение Н2 * Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение(С2* Алгебры и их применениеL2((0, * Алгебры и их применение), dρк))) (2.1.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р1 + Р2. Н0=Н0,0 , Н1=Н1,0* Алгебры и их применениеН0,1 , Н2=Н1,1

Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ* Алгебры и их применение (0, * Алгебры и их применение). Тогда, как было найдено выше, спектр * Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н0 * Алгебры и их применение Н1* Алгебры и их применение Н2 * Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение(С2* Алгебры и их применениеL2((0, 2), dρк)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и * Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1΄ Р2΄ равенствами

Р1΄ = P1* Алгебры и их применениеP2* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк ))

Р2΄ = P2 * Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение * Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк ))

где Pi: Н→Нi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2((0, 2), dρк)). Тогда А =Р1΄ + Р2΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 + bР2 (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1 + bР2 (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда * Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение [0, a] * Алгебры и их применение[b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н0* Алгебры и их применение Нa * Алгебры и их применениеНb* Алгебры и их применениеНa+b* Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(С2* Алгебры и их применениеL2([0, a] * Алгебры и их применение[b, a+b], dρк)))) (2.2.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования х→a+b.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2 (0<a<b). Пусть Н0=Н0,0, На=Н0,1, Нb=Н1,0 , Нa+b=Н1,1. Так как * Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение [0, a] * Алгебры и их применение[b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н0* Алгебры и их применение Нa * Алгебры и их применениеНb* Алгебры и их применениеНa+b* Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение(С2* Алгебры и их применениеL2([0, a] * Алгебры и их применение[b, a+b], dρк))))

где меры ρк (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.

Обратно, пусть * Алгебры и их применение(А) * Алгебры и их применение [0, a] * Алгебры и их применение[b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2 следующим образом

P1 = Pa* Алгебры и их применениеPa+b * Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк ))

Р2 = Pb * Алгебры и их применениеPa+b (* Алгебры и их применение * Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк ))

где Рα: Н→Нα , α = a, b, a+b – ортопроекторы, Iк – единичный оператор в L2([0,a] * Алгебры и их применение[b, a+b]). Тогда

А = aР1 + bР2 = aР1* Алгебры и их применение bР2* Алгебры и их применение(a+b)Pa+b * Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение(* Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк )) * Алгебры и их применение

* Алгебры и их применение (* Алгебры и их применение * Алгебры и их применение* Алгебры и их применениеIк ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 .

P2 = С <p1, p2 | pк2 = pк* =pк>.

А именно: 4 одномерных π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.

И двумерные: * Алгебры и их применение , * Алгебры и их применение τ* Алгебры и их применение (0, 1)

Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 + bР2 (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2 и А = aР1 + bР2 (0<a<b).

Список литературы

Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.

Похожие работы:

  1. • *-Алгебры и их применение
  2. • Тождественные преобразования показательных и логарифмических ...
  3. • Нечеткая логика при решении криминологических задач
  4. • Квантовые эффекты в ядерной физике
  5. • Развитие мотивационной составляющей учебной ...
  6. • Современный урок математики, требования к нему
  7. • Личность Петра I
  8. • Методы формализованного представления систем в ...
  9. • Некоторые вопросы геометрии вырожденных ...
  10. • О некоторых российских педагогических концепциях в условиях ...
  11. • Информатика и информационные технологии в ...
  12. • Абелевы универсальные алгебры
  13. • Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр
  14. • Алгебра октав
  15. •  ... централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
  16. • Дослідження універсальних абелевих алгебр
  17. • Алгебра
  18. • Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика - Алгебра ...
  19. • Геометрическая алгебра: машина времени
Рефетека ру refoteka@gmail.com